세상을 바꾼 17가지 방정식 VIDEO:17 equations that changed the world
피타고라스 정리, 로그, 미적분, 만유인력의 법칙
허수, 오일러의 다면체 공식, 정규분포, 파동방정식 등
이 넓은 세상이 방정식 하나로 설명이 된다면 정말 멋지겠지만, 아쉽게도 자연과 우주는 그렇게 간단한 존재가 아니다. 하지만 적어도 인류는 국소적인 현상들에 관해서, 때로는 넓은 우주 일부분을 방정식으로 설명하면서, 그 방정식들을 발전시켰고 이를 통해서 자연과 우주를 설명하고자 노력해왔다.
이러한 방정식들은 기초과학의 발전을 이끌었지만, 응용과학 및 공학에 적용되면서 세상이 달라지기 시작했다. 방정식들이 적용된 세상은 더이상 예전에 우리가 알던 간단한 세상이 아니었다. 위 방정식들은 오랜 인류 역사를 이끌며 인류 역사를 변화시켜왔다. 이러한 변화들이 쌓여 가며 더 고도화된 방정식을 발견하고 창조해내며 더불어서 세상 역시 한층 더 고도화되고 있다.
영국의 수학자 이안 스튜어트 교수(Prof. Ian Stewart)가 소개한 ‘세상을 바꾼 17까지 방정식(17 Equations That Changed the World)’을 소개한 바 있다. 4월 과학의 달을 맞이하며 세상을 바꾼 방정식들에 관해서 간단히 알아보고자 한다.
[1. 피타고라스 정리(Pythagorean theorem : 피타고라스, 530 BC)]
피타고라스 정리는 직각삼각형에서 빗변(직각삼각형에서 가장 긴 변)의 길이의 제곱이 나머지 두 변의 길이 제곱의 합과 같다는 공식이다. 삼각형의 가장 긴 변은 가장 큰 각을 마주 보고 있으며, 가장 짧은 변은 가장 작은 각을 마주 보고 있게 된다. 이 공식은 고대 그리스의 철학자이자 수학자였던 피타고라스가 발견한 공식으로 현재 위 공식에 관한 증명만 해도 400여 가지에 이르고 있다.
두 변의 길이가 주어진다면, 나머지 한 변의 길이를 쉽게 구할 수 있기에 위 공식은 건축, 건설, 구조 탐색, 항해 및 측량 등에 두루두루 쓰이고 있다. 예를 들어서, 경사진 지붕을 제작하고 있을 때 지붕의 높이와 가로 길이를 알고 있다면 지붕 경사면의 대각선 길이를 쉽게 구할 수 있다. 따라서 지붕의 면적을 쉽게 계산하고 제작할 수 있다.
피타고라스 정리는 항해등의 2차원 탐색에도 유용하게 이용된다. 두 길이를 이용하면 최단 거리(대각선)를 간단하게 찾을 수 있기 때문이다. 이를 통해서 수월한 항해도를 제작할 수 있다. 비슷한 원리가 항공항법에도 적용될 수 있다. 비행기의 고도와 공항까지의 거리를 알게 되면 공항으로 강하 시작할 때의 정확한 위치를 찾을 수 있다. 또한, 피타고라스 정리는 지도 제작 및 측량에도 활발하게 쓰이는데 주로 지형이 고르지 않을 때 언덕이나 산의 경사면을 계산할 때 이용이 된다.
[2. 로그 (Logarithm: 존 네이피어, 1610)]
로그의 개념에 친숙해지려면 먼저 지수(exponent)를 알아야 한다. 지수는 어떤수 a 의 오른쪽 어깨 부분에 숫자 x를 붙힌 형태로 a를 x번 거듭제곱한 형태를 나타낸다. 로그는 지수함수의 역함수(정의역과 치역을 서로 뒤바꾸어 얻는 함수)로서 어떤 수를 나타내기 위해 고정된 밑을 몇 번 곱해야 하는지를 나타낸다. 즉, a를 x번 거듭제곱한 형태가 N이라면 로그함수의 밑은 a가 되고 진수는 N이 된다.
예를 들면, 8은 2의 3승으로 나타낼 수 있는데 이때 3을 8의 로그함수 8은 3의 진수가 된다. 16세기부터 지금과 같은 지수의 기호가 사용되었고 지수와 로그는 천문학을 비롯하여 항해술, 상업적인 계산을 포함한 공학의 모든 분야에 널리 사용되고 있다.
로그는 큰 물리량을 매우 간편하게 표현할 수 있기에 일상생활에서도 쉽게 찾아볼 수가 있다. 예를 들면 소음을 표현해주는 데시벨(dB)은 소리의 세기를 표준음의 세기와 비교해서 나타내는데 표준음의 세기를 Ⅰo라 하고 어떤 소리의 세기를 Ⅰ라고 할 때, 이 소리의 세기를 데시벨로 환산한 수치 L은 상용로그를 이용해서 구하게 된다 (L = 10 log Ⅰ/Ⅰo). 예를 들어서 전기톱이 내는 소리 100dB은 100 = 10 log(전기톱이 내는 소리/표준음의 세기)이므로 1백억 배를 의미한다.
이처럼 매우 큰 숫자를 간단하게 나타낼 수 있는 로그는 수소이온농도를 알려주는 pH에서도 쓰인다. 만약 수용액에서 수소 이온이 10의 -7승g 존재한다면, 이때의 pH는 7이 된다. 이외에도 감각과 자극의 세기를 나타내거나 지진의 규모와 진도 등에 자주 이용된다.
특히 단위가 매우 크거나 많은 계산을 해야 하는 천문학이나 데이터 분석 시 로그를 이용하면 매우 강력한 무기를 갖게 된다. 로그를 취함으로써 매우 큰 수가 작아지고 복잡한 계산이 로그의 성질에 의해서 매우 간단해지기 때문이다. 데이터 분석에서는 로그를 취함으로써 데이터 간 편차를 줄여서 정규성을 높이고 회귀분석 등에서 정확한 값을 얻을 수 있다.
또한, 로그가 큰 수의 계산을 간단히 할 수 있는 실질적인 도구가 되기 위해서는 더욱 조밀한 등비급수가 만들어져야 한다. 이에 따라서 무리수 e를 밑으로 하는 자연로그(ln x)가 출현하게 되었다. 자연로그의 활용 역시 무궁무진하다. 특히, 자연로그의 밑을 지수의 밑으로 이용하는 지수함수의 미분 등에서 매우 쉽게 활용된다.
[3. 미적분 (Calculus: 아이작 뉴턴, 1668)]
미분은 함수의 순간 변화율로 국소적인 변화를 나타내는데, 주로 함수의 기울기를 나타낸다. 반면, 적분은 정의된 함수의 그래프와 그 구간의 넓이를 구하는 방법을 나타낸다. 미적분은 단연 현대 과학에서 가장 중요한 개념 중 하나이다. 이는 수학 및 물리학 등의 다양한 과학 분야에서 매우 기초적이고 필수적인 계산 도구이기 때문이다. 미적분은 흔히 수학의 꽃이라고 불릴 만큼 활용도가 높다.
미분 방정식은 열전도 현상, 바이러스의 증식 진동현상, 방사성 원소 붕괴 등에 지수/로그함수와 함께 자주 사용된다. 또한, 유체역학, 전자기학 등의 물리학 주요 과목과 공학 분야에서도 미적분은 빼놓을 수가 없다. 천문학에서는 천체들의 움직임을 예측하거나 전자기 복사 등의 상황에서도 미분방정식이 아주 흔하게 쓰인다. 건축학에서도 미분이 쓰이는데 곡선의 접선을 이용하여 운전자가 안전하게 도로에 진입할 수 있도록 도로를 만드는데에도 이용이 되며, 심지어는 무인카메라에서도 미분이 사용된다. 예를 들면 카메라 앞의 감지선을 지나가는 데 걸리는 시간과 그 후의 속도를 계산하여 과속을 판단하게 된다.
적분은 주로 항공우주나 의학 쪽에서 자주 이용된다. 신체의 단층면을 나타내주는 CT는 인체의 여러 각도에서 투과한 엑스선을 측정한 후 단면에 대해 흡수치를 재구성해낸다. 이를 통해서 신체 부위를 2차원 혹은 3차원 영상으로 나타내게 되는데, 이때 구분구적법의 개념이 사용된다. 이외에도 사회과학 및 경제학에서도 수많은 모델을 설명할 때 미적분이 사용된다.
[4. 만유인력의 법칙 (Law of Gravity: 아이작 뉴턴, 1687)]
만유인력의 법칙은 뉴턴의 프린키피아(Principia)에서 처음 소개된 법칙인데, 질량을 가진 두 물체 사이에 작용하는 힘을 나타낸다. 위 힘은 두 점 질량 사이 질량들의 곱에 비례하며 점질량 사이의 거리 제곱에 반비례한다는 법칙이다. 위 법칙은 천문학이라는 학문을 만들었다고 해도 과언이 아니다.
만유인력의 법칙으로부터 여러 법칙이 파생되었고, 이를 통해서 작게는 달의 세차운동을 계산하는 데에 이용되며, 행성 및 혜성의 운동, 궤도 그리고 가속도 등을 구할 수 있다. 크게는 은하계의 운동 설명 등에도 이용되는 매우 일반적인 물리학 법칙이다. 위 법칙은 아인슈타인의 중력 법칙이 나오기 전까지 거의 모든 상황을 설명할 수 있는 법칙이었다. 만유인력의 법칙은 일상생활에는 매우 유효하지만, 극한 상황에서는 아인슈타인의 중력법칙으로 설명이 가능하다. 따라서 만유인력의 법칙이 틀렸다기보다는 아인슈타인의 이론이 뉴턴의 이론을 포용하는 포괄적인 이론이라고 할 수 있다.
[5. 허수 (The square root of minus one; imaginary number: 르네 데카르트 그리고 레온하르트 오일러 1637, 1750)]
허수는 현대에서 없어서는 안될 숫자 중 하나로 수의 개념을 확장시킨 존재이다. 적분을 고안해낸 두 천재 중 하나인 라이프니츠는 허수에 관해서 ‘존재와 비존재 사이에 있는 존재로 마치 양서류 같은 존재’라고 표현하며 성스럽고 놀라운 영혼의 피난처라고 덧붙인 바 있다. 도대체 허수는 무엇이길래 이토록 미묘한 표현을 썼을까? 허수는 제곱을 해서 -1되는 수를 일컫는다. 실수(real number)를 제곱하면 0 또는 양수가 나오는데 제곱해서 -1이 된다니 이건 보통의 숫자와 달라도 뭔가 한참 다르다.
허수의 역사는 사실 매우 오래되었다. 고대 그리스의 기하학자 헤론에 의해서 처음 개념이 잡힌 후로 1572년 이탈리아의 수학자 라파엘 봄벨비의 선형대수학 저서에서 허수의 중요성이 처음 인식되었다. 이후 데카르트 철학서 방법사설(Discours de la méthode)의 부록 기하(La Géométrie)부분에서 ‘허수(imaginary numbers)’라는 개념이 정착되었고, 오일러에 의해서 허수 단위 기호로 i가 도입되었다. 현대 수학에서는 실수(제곱하면 0보다 커지는 부분)와 허수(제곱하면 0보다 작아지는 부분)를 합쳐서 복소수 (complex number)라고 부른다. 제곱해서 0보다 작아지려면 제곱해서 -1이 되는 숫자가 필요하므로 복소수를 적당한 두 실수 a와 b에 대해서 a+bi 꼴로 나타내곤 한다.
허수는 숫자 자체로도 매우 신비롭지만, 이의 기하학적 의미는 수학을 완전히 뒤바꿔놓았다고 해도 과언이 아니다. 허수가 탄생하기 전까지 모든 숫자들은 수평으로 뉘어진 직선 위에 존재하고 있었다. 하지만 제곱해서 -1이 되는 수는 직선 위에 자리 잡을 수 없기에, 영국의 수학자 존 월리스 (John Wallis)는 이를 기하학적으로 나타내고자 평면에서 수직 방향으로 공간을 넓히는 놀라운 사고의 전환을 고안해 냈다. 이후 노르웨이-덴마크의 수학자 카스파르 베셀(Caspar Wessel)이 복소수를 직교좌표에 나타내게 되었다. 즉, 직교좌표계에 한점 Z (x, y) 가 있다고 가정했을시 이는 z = x+yi 로 나타낼 수 있게 되었고, 따라서 좌표와 복수수는 1대1 대응을 이룰 수 있게 된다. 이를 통해서 허수는 마침내 숫자로 인정 받게 되었고, 가우스는 이를 이용하여 훗날 허수를 이용하여 방정식 해에 관한 일관된 규칙을 발견하게 된다.
복소 평면에서의 복소수의 위치 (왼쪽) 그리고 오일러의 공식 (오른쪽) ⓒ 사이언스타임즈
점 Z는 원점에서부터의 반지름과 각도를 이용하여 극좌표에서도 표현될 수 있는데 (z = x + yi = rθ), 이는 결국 임의의 원이 있다고 가정했을시 복수수와 삼각함수와의 관계까지 확장될 수 있게 된다. 영국의 수학자 로저 코츠(Roger Cotes)와 레온하르트 오일러(Leonhard Euler)는 복수수가 자연로그와 삼각함수 및 지수함수와의 관계식으로 표현될 수 있다는 점을 발견했다. 즉, ln(cos x + i sin x) = ix를 지수함수로 변형하여 자연로그의 밑에 ix 승은 cos x + i sin x 와 같다는 공식을 발견하게 되었는데, 이는 세상에서 가장 아름다운 공식으로 불리는 오일러의 공식이다.
허수의 중요성이 강조되는 것은 현대 물리학이 양자역학을 토대로 설명되기 때문이다. 관측 가능한 세계는 실수로 설명할 수 있지만, 양자 세계를 설명할 때는 허수가 등장한다. 대표적으로 양자역학의 기초를 이루는 슈뢰딩거 (Erwin Schr dinger) 방정식에도 허수가 등장하며 방정식의 해 역시 복소수로 나타내어진다. 허수의 장점은 불가능해 보이는 문제를 비교적 간단하게 해결해준다는 점이다. 전자전기공학에서는 허수가 없어서는 안 될 요소이며 복수수의 도움 없이는 미분방정식의 풀이가 거의 불가능하다.
또한 복소수 세계의 적분인 복소적분에서 적분 해는 실수만으로는 표현 불가능하다. 이외에도 열역학, 유체역학, 기체공학 등 수많은 분야에서 복수수가 쓰이고 있으며 신호 분석 등에서도 복소수가 쓰인다. 이처럼 허수는 과거 사고방식을 완전히 바꿔놓은 숫자이며 현대 수학과 물리학에서 가장 근본이 되는 요소 중 하나라고 해도 과언이 아니다. 현대 물리학의 혜택을 받는 우리 역시 허수의 혜택을 받고 있다.
[6. 오일러의 다면체 공식 (Euler’s Formula for Polyhedra: 오일러 1751)]
정다각형(Regular polygon)은 모든 각의 크기와 변의 길이가 같은 다각형을 말한다. 정다각형은 변의 길이가 늘어날수록 원에 근접하는 모양을 갖게 된다. 이에 반면 정다면체 (Platonic solid)는 모든 면이 합동인 정다각형으로 이루어져 있는, 즉, 각 꼭짓점에서 만나는 면의 개수가 같은 도형을 말한다. 특이한 점은 정다면체가 다섯 가지 밖에 없다는 점이다.
이유는 알고 보면 간단하다. 정다면체가 되려면 각 면이 모두 합동인 정다각형이어야 하고, 꼭짓점에 모인 면의 개수가 모두 같아야 한다. 또한 입체도형을 만들기 위한 꼭짓점에 모이는 최소 면의 숫자는 3개이다. 먼저 각 면이 정삼각형인 정다면체는 정사면체 (정삼각형이 3개), 정팔면체 (정삼각형이 4개), 정이십면체 (정삼각형이 5개)까지만 가능하다. 정삼각형이 6개 이상 모이면 모인 각의 크기 합이 360도를 넘어서기 때문이다.
각 면이 정사각형인 정다면체는 단 한 가지 정육면체 (정사각형이 3개)뿐이다. 각 면이 정오각형인 정다면체는 정십이면체(정오각형이 3개)가 가능하다. 정오각형이 4개 이상이면 역시 모인 크기 합이 360도를 넘어선다. 정육각형은 한 각이 120도기에 3개가 모이면 360도가 되어서 다면체를 만들 수 없다. 결론적으로 정다면체는 정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체로 총 다섯 가지뿐이다.
오일러는 임의의 다면체를 구성하는 점, 선, 그리고 면이 가지는 관계를 밝혀냈는데, 이는 점의 개수(V)에서 선의 개수(E)를 뺀 값에 면의 개수(F)를 더 할 경우에 나오는 값이 일정하다는 정리(V – E + F = 2)이다.
여러 특수한 다면체들은 기존의 정다면체와 유사한 모습을 지녔어도 오일러 공식이 성립하지 않는 경우가 있다. 이는 위상 관점에서 중요한 예시가 될 수 있는데, 겉모습이 비슷한 다면체가 다른 성질을 가질 수 있기 때문이다. 오일러 다면체 공식은 이어진 연구에서 정다면체가 아닌 더 복잡한 형태의 도형에서는 V – E + F가 2가 아닌 다른 값이 나올 수 있음이 확인되었고, 위 값을 오일러 표수(Euler Characteristic)라고 부르게 되었다.
따라서 다른 오일러 표수는 도형이 근본적으로 다른 성격을 띠고 있음이 밝혀진 셈이다. 오일러의 다면체 공식은 위상 수학의 기초가 되었으며 훗날 네트워크 연구로 일반화되면서 수학자들에게 더 높은 차원의 도형 연구에 큰 도움을 주었다.
[7. 정규분포 (Normal distribution: 가우스 1810)]
정규분포(Normal distribution 또는 가우스 분포 Gaussian distribution)는 통계학에서 가장 대표적인 연속 확률 분포 중 하나이다. 정규 분포는 평균 μ과 표준편차 σ에 의해서 모양이 결정되며, 이때의 분포를 N (μ, σ제곱)이라고 표기한다. 특히 평균 μ이 0이며 표준편차 σ가 1인 정규 분포를 표준분포(standard normal distribution)라고 부른다. 정규분포는 데이터 분포를 근사하는데 매우 자주 이용된다.
정규분포가 지니고 있는 확률 밀도 함수. μ은 평균 σ는 표준편차를 나타낸다. ⓒ 사이언스타임즈
코로나 19를 거치고 국민들의 정치에 대한 관심이 정점에 다다른 요즈음, 통계는 이제 우리 생활에서 떼려야 뗄 수가 없는 존재가 되었다. 코로나 통계, 각종 여론 조사, 그리고 수능 등급 컷 예측 등에도 정규분포가 매우 다양하게 이용되고 있다. 특히, 전체 집단(모집단)에 관해서 전수 조사는 거의 불가능하기에 일정 표본만 조사함으로써 적은 시간과 비용만으로 (일정한 신뢰도를 바탕으로) 모집단에 관한 정보를 추정할 수 있는데, 이는 모집단이 정규분포를 따르면 표본 평균도 정규 분포를 따르기 때문이다.
또한 모집단이 정규분포를 따르지 않더라도 데이터가 충분히 많다고 가정할 시 위 정리가 유사하게 성립되곤 한다 (중심 극한 정리 Central limit theorem). 즉, 모집단의 평균, 분산 등을 모르더라도, 표본 집단을 대상으로 표본 평균과 분산 등만 알게 된다면 모집단에 관한 여러 추정을 할 수 있다는 점이다. 많은 통계 자료들은 정규 분포를 따르며 데이터가 정규 분포를 따른다는 가정만으로 우리가 매우 다양한 통계 분석을 수행할 수 있다는 점은 정규 분포의 큰 장점이라고 할 수 있다. 또한 이항분포, 카이제곱 분포 등 다른 확률 분포들과도 서로 밀접한 관련이 있기 때문에 정규 분포는 그야말로 통계학에서 뿌리와 같은 존재라고 할 수 있다.
μ (평균)과 σ (표준편차)에 따라서 그래프가 달라짐을 알 수 있다. ⓒ Inductiveload
[8. 파동방정식 (Wave Equation: 달랑베르 1746)]
파동방정식(Wave Equation)은 음파, 전자기파, 수면파 등의 일반적인 파동을 다루기 위해 사용되는 2차 편미분 방정식이다 (슈뢰딩거의 파동방정식과는 다름). 이는 라플라스 방정식의 변형으로 줄의 떨림, 얇은 판의 진동 등 자연계에서 나타나는 여러 파동 현상을 설명할 수 있다. 파동 방정식의 표현은 다음과 같다.
u는 파동의 진폭 파형을 나타내는 물리량으로 주로 음향파, 물결파, 지진파, 진동하는 끈의 변위 파동, 전류파, 전압 파 혹은 전자기파의 전계 혹은 자계에 해당하는 물리량이며 스칼라 또는 벡터일 수 있다. v는 전파되는 파동의 속도를 나타내며 주로 음파의 속도 (음속), 빛의 속도 (광속), 혹은 탄성 줄을 따라서 전파하는 속도 등을 나타낸다. ∇제곱은 라플라시안(Laplacian Operator)으로 공간 좌표에 관한 2계 미분 연산자를 나타낸다.
한편 특정 파동을 묘사하기 위해서는 초기 조건(initial condition)과 경계 조건 (boundary condition)등이 주어져야 한다. 위 파동방정식의 해가 어떤 함수라면 그 함수는 그에 따른 파동을 나타내며 이를 파동 함수(wave function)라고 표현한다. 파동방정식의 응용은 무궁무진하다. 우리는 음악 등의 소리, 실생활에서 가장 중요한 빛, 지진 등의 파동 속에서 살고 있기 때문이다. 파동방정식은 자유 공간상의 전자기파 파동 방정식, 전압파, 전류파 파동 방정식 등에도 쓰이며 여러 중요한 방정식의 모태가 되었다. 그중 가장 중요한 발견으로 맥스웰의 업적을 들 수 있는데, 맥스웰은 그의 방정식들에 대한 몇 가지 간단한 조작 끝에 파동방정식으로 유도하는데 성공하였고, 이에 따라서 빛이 반드시 전자기파일 것이라고 유추한 바 있다.
*위 글은 이안 슈트어트 교수(Prof. Ian Stewart)의 저서 ‘17 equations that changed the world (세상을 바꾼 17가지 방정식)’의 도표를 기반으로 작성된 글임을 알려 드립니다.
김민재 리포터 사이언스타임스
17 equations that changed the world
