매듭에서의 힘 측정 Measuring the Forces in a Knot

매듭은 수학적으로 위상기하학

연구진은 매듭의 힘과 위상 기하학과의 연관을 찾을 수 있었다. 실험은 금속 와이어로 수행되었으며 이론값과 

잘 일치하였다.

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   매듭은 너무 뾰쪽하게 꼬여있고 회전하여 과학자들은 매듭의 모양이 어떻게 그 안의 힘에 영향을 미치는지를 정확하게 알아내는데 어려움을 겪고 있다. 

그러나 이제 이론적으로 간단하게 모델화된 매듭을 만들어, 회전을 더하거나 감할 때 매듭의 모양이 내부힘에 어떻게 영향을 주는지를 밝혀내었다. 이런 이론적 계산은 얇은 금속 와이어가 사이즈가 큰 오픈 매듭에 묶였을 경우에 대해서 수행한 실험결과와 일치하였다. 이 결과는 작고 단단하게 매듭지어진 더 복잡한 경우에 대한 해석을 가능하게 해 줄 것이다.

매듭은 그것의 구조에 의해서 정의되며 수학적으로 위상기하학이라고 불린다. 묶는 과정의 작은 변화도 근본적으로 다른 기계적 특성을 가진 완전히 다른 매듭을 발생시킬 수 있다. 예를 들어, 보통 신발끈을 맬 때 실수할 경우 쉽게 풀어지는 매듭이 생길 수 있다. 

위상학의 중요성은 풀매듭(slip knot)을 제작한 사람에게는 명백하지만, 수학적 모델로 매듭의 성능이 어떻게 위상기하학에 의존하게 되는지 정확하게 예측하지 못하고 있다. 어려운 부분의 일부는 뾰쪽한 꼬임과 회전이 심지어 컴퓨터 시뮬레이션으로도 계산하기 어려운 힘을 발생시킨다는 것이다.

뾰쪽한 회전을 피하기 위해서, 이론적 연구는 막대에 여러 번 감긴 로프와 같은 간단한 경우에 대해서 집중하였다. 이 경우 마찰로 로프를 고정시킬 수 있지만 실질적인 매듭은 아니다. 프랑스 파리에 위치한 소르본 대학교와 미국 MIT 대학 연구진은 와이어로 매듭을 묶을 경우, 그것은 뾰쪽한 회전으로부터 자유롭고 오픈된다. 그 이유는 이 재료의 강력한 휘는 강도 덕분이다. 이 구조는 또한 많은 매듭이 단단한 물질로 만들어졌기 때문에 흥미롭다.

이들 연구진은 외벌 매듭을 연구하였다. 이 중에서 가장 간단한 것은 세잎 모양의 장식 매듭으로서, 로프의 중간에 고리를 형성하고 로프의 한쪽 끝을 고리를 통과시켜 만든다. 여러 번 고리를 통하여 로프를 통과시킴으로써 더 복잡한 장식 매듭을 만들 수 있다. 통과한 수는 매듭의 위상 기하학을 정의한다. 실험을 위해서, 연구진은 니켈-티타늄 와이어를 이용하여 외벌 매듭을 1에서 10까지의 n 값으로 만들었다. 이 경우, 이들 연구진은 2개의 와이어 끝에 장력을 인가하여 고리가 닫히게 만들었다. 그러나 와이어의 휨 강도는 고리가 아직도 열린 상태에서 고정되도록 만들었다. 이런 열린 매듭의 모양은 물질의 휨 강도와 가닥의 마찰에 의해서 형성된다. 여기서 와이어의 두 끝은 서로에 대해서 n 번 꼬여진다.

이전의 연구에서, 이들 연구진은 두 개의 가장 간단한 외벌 매듭에서 발생하는 모양과 힘을 계산하였다. 이런 경우, 가닥은 짧고 마찰은 무시될 수 있다. 그러나 이 새로운 실험은 이런 이전의 계산이 더 큰 n 값을 가진 매듭에 대해서 확장될 수 없다는 것을 보여주었다. 이들 연구진은 n 값이 증가하면, 고리가 급격하게 닫히기 어렵게 된다는 것을 발견하였다. 이들 연구진은 가닥과 고리를 별도로 취급함으로써 더 큰 n 매듭의 어려운 문제를 해결할 수 있는 방법을 발견하였다.

이들 연구진은 먼저 꼬임의 가파른 정도를 나타내는 피치가 마찰과 밀접하게 연관된 나선형으로서 가닥을 모델링하였다. 나선형이 더 밀집되면 더 마찰이 컸다. 반면에 고리는 한쪽 끝이 고정되어 휘어진 탄성 막대의 고전적인 역학과 유사하다. 이들 연구진은 이 문제에 잘 알려진 솔루션을 취하여 그것을 그들의 나선형 모델과 결합시켰다. 그 결과로 이들 연구진은 위상 기하학과 역학적 변수 사이의 단일 수학적 관련을 밝혀내었다.

이들 연구진은 이런 공식이 단단하게 잡아 당겨진 모든 로프 매듭에 적용할 수 있는 것은 아니라고 말하였다. 그러나 이것은 컴퓨터 시뮬레이션으로 더 복잡한 문제를 해결하기 위한 시발점이 될 수 있을 것으로 이들 연구진은 말하였다. 미국 앰허스트에 위치한 매사추세츠 대학의 Chris Santangelo는 이들 연구진이 그것의 구조로 매듭의 마찰력을 분석하였다는 것에 대해서 매우 놀랐다고 말하였다. 그는 이들의 연구가 위상 기하학과 역학 사이의 흥미로운 분야를 열 수 있을 것으로 내다보고 있다. 이들의 연구 결과는 Physical Review Letters 저널에 발표되었다.

출처 KISTI 미리안 『글로벌동향브리핑』

Measuring the Forces in a Knot

Knot physics unraveled. A double overhand knot (n = 2) is shown here tied with rope. Researchers were able to relate the forces in the knot (tension, friction, and bending stiffness) to the topology (number of turns, n). The experiments were perform... Show more

Knots have such sharp twists and turns that researchers have had trouble determining precisely how a knot's shape affects the forces within it. But now a team has theoretically modeled a simplified knot, showing the effects on the internal forces when adding or subtracting a turn. The theoretical calculations matched the team's experiments in which thin metal wires were tied into large open knots. The results may guide future work in characterizing more complicated knots that are pulled small and tight.

Knots are defined by their configuration, or what mathematicians call topology. A seemingly small change in the tying procedure can produce an entirely different knot with radically different mechanical properties. For example, a common shoelace-tying mistake leads to the less-secure "granny knot." The importance of topology seems obvious to anyone who has created a "slip knot," but mathematical models have yet to predict exactly how a knot's performance will depend on topology. Part of the difficulty is that the sharp twists and turns generate forces that are difficult to calculate, even with computer simulations.

To avoid sharp turns, theoretical work has focused on simple cases such as a rope wrapped several times around a post, which can lock the rope in place with friction but isn't a true knot. Basile Audoly from the Sorbonne Universities in Paris, Pedro Reis of the Massachusetts Institute of Technology in Cambridge, and their colleagues realized that if you tie a knot out of wire, it remains open and free of sharp turns, thanks to the strong bending stiffness of the material. This structure is also of interest because many knots are made with stiff materials like surgical thread or protein molecules.

The team decided to study overhand knots, the simplest of which is the trefoil knot, made by forming a loop in the middle of a rope and then passing one end of the rope through the loop. You can make more complicated overhand knots (such as a double overhand knot) by passing the rope through the loop multiple times. The number of passes (n) defines the topology of the knot.

For the experiments, the researchers formed overhand knots with n values from 1 to 10 using nickel-titanium wires. In each case, they applied tension to the two wire ends, so that the loop began to close. However, the bending stiffness of the wire caused the knot to “lock” with the loop still open. The shape of this open knot is set by the bending stiffness of the material and by friction in the "braid," where the two ends of wire twist around each other n times.

In previous work [1], Audoly and others calculated the shapes and forces produced in the two simplest overhand knots (n = 1 and n = 2). In these cases, the braid is short and friction can largely be neglected. However, the new experiments showed that these earlier calculations could not be extended to knots with higher n values. The researchers discovered that, as n increases, the loop becomes dramatically harder to close. Audoly and his colleagues found a way to solve the more difficult problem of large n knots by treating the braid and loop separately.

The researchers first modeled the braid as a helix whose pitch (twist steepness) is closely related to the friction. The tighter the helix, the greater the friction. The loop, on the other hand, resembles a classic mechanics problem of an elastic rod being bent while holding one end fixed. The team took the well-known solution to this problem and combined it with their helix model. The result was a single mathematical relation between the topology (n) and the mechanical variables—friction, bending stiffness, and tension. Audoly admits that this formula does not apply to everyday rope knots that are pulled tight. But he sees it as “a starting point” for attacking these more complicated problems with computer simulations.

Chris Santangelo from the University of Massachusetts, Amherst, is amazed that the authors were able to characterize the frictional forces in a knot in terms of its configuration. “I think it opens up an interesting area between topology and mechanics,” Santangelo says.

This research is published in Physical Review Letters

–Michael Schirber

Michael Schirber is a freelance science writer in Lyon, France.

http://physics.aps.org/articles/v8/86

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